2. Sobre los investigadores de la aritmética

        Se afirma que, entre los griegos, el primero que escribió sobre la ciencia del número fue Pitágoras, y que más tarde Nicómaco le dio una disposición más amplia. Entre los latinos, primero Apuleyo y luego Boecio fueron los traductores de aquellas obras.

3. Qué es el número

        1. Número es una pluralidad constituida a partir de unidades; pues el uno no es un número, sino el origen del número. El nummus (dinero) dio nombre al número, imponiendo este vocablo a causa de su frecuente empleo. El uno deriva su nombre del griego; los griegos al uno llaman héna. Lo mismo sucede con dos y tres, que ellos dicen duo y trés.

        2. El cuatro tomó su denominación de la figura cuadrada. El cinco recibió su nombre, no por su naturaleza, sino por el libre albedrío de quien impuso nombres a los números. El seis y el siete derivan también del griego.

        3. En muchas palabras que en griego comienzan por aspiración, nosotros colocamos, en lugar de esa aspiración, una S. De ahí que en lugar de hex digamos seis, y en vez de heptá, siete; del mismo modo que a la hierba conocida por hérpyllon la llamamos serpullum (serpol). Ocho se dice así por simple traslación, puesto que la palabra es la misma para ellos que para nosotros. Asimismo, ellos dicen ennéa y déka, y nosotros, respectivamente, nueve y diez.

        4. De acuerdo con la etimología griega, el número diez es así llamado porque compendia y aglutina a todos los demás números que le anteceden. En este sentido, entre los griegos, desmós significa "compendiar", "aglutinar". Del mismo modo se dice viginti (veinte), porque el diez en él está "bi generado", con un simple cambio de b por v. Triginta (treinta), porque el diez es por tres veces generado. Y así sucesivamente, hasta noventa.

        5. El ciento deriva su nombre de canthus, que significa "círculo"; doscientos, de dos veces cien. Y así las restantes, hasta mil. Por su parte, mil deriva de "multitud", de donde proviene "milicia", como si se dijera "multicia"; de aquí procede también "millar", que los griegos, cambiando una letra, dicen miríada.

4. Sobre la importancia del número

        1. No debe menospreciarse en absoluto la ciencia de los números. En muchos pasajes de las Sagradas Escrituras se pone de relieve cuán profundo es el misterio que entrañan. No en vano en las alabanzas a Dios se dice: "Todo lo has creado con medida, número y peso". (Sab 11,21).

        2. Así, el número seis, que es perfecto en sus partes, pone con su concepción en evidencia cuánta es la perfección del mundo. Del mismo modo, sin el conocimiento de los números no pueden comprenderse los cuarenta días que ayunaron Moisés, Elías y nuestro Señor.

        3. Aparecen también en las Sagradas Escrituras otros números cuyo sentido no pueden desentrañar sino quienes conocen la ciencia de este arte. En cierto sentido es evidente que nosotros vivimos bajo la disciplina de los números, ya que, gracias a ella, sabemos las horas, llevamos el cómputo del paso de los meses y conocemos cuándo retorna cada época del año.

        4. Merced al número aprendemos a no ser engañados. Suprime de todas las cosas el número, y todo se extingue. Quítale al tiempo su cómputo, y todo quedará envuelto en la ciega ignorancia: el hombre no podría diferenciarse de los restantes animales, que ignoran la noción del cálculo.

5. Sobre la división primera, en pares e impares

        1. Los números se dividen en pares e impares. El número par se subdivide, a su vez, en igualmente par, igualmente impar, desigualmente par, desigualmente impar. El número impar, por su parte, se subdivide en primo o simple, segundo o compuesto, y tercero o intermedio. El intermedio en un sentido es primo y simple; en cambio, en otro sentido, es segundo y compuesto.

        2. Es número par el que puede dividirse en dos partes enteras iguales, como 2, 4 u 8. Es impar, en cambio, el que no es susceptible de ser dividido en partes iguales, ya que o falta o sobra una mitad, como 3, 5, 7, 9, etc.

        3. El número pariter par es aquel de cuya división resulta sucesivamente un número par, hasta llegar al final, que resulta indivisible. Por ejemplo, 64, cuya mitad es 32; la de éste, 16; la de 16, 8; la de 8, 4; la de 4, 2; y la de 2, 1, número indivisible.

        4. El pariter impar es el que se divide en dos partes iguales, pero éstas, a su vez, no son divisibles, como 6, 10, 38 y 50. Si divides por dos uno de estos números, obtienes otro que ya no puedes fraccionar entre dos.

        5. El número es impariter par cuando sus partes pueden también ser divididas, pero su fraccionamiento final no llega hasta la unidad, como el 24. Este número, dividido por 2, da 12; éste, a su vez, da 6, cuya mitad es 3; esta cifra no admite una segmentación ulterior: antes de llegar a la unidad se ha obtenido un número que es imposible dividir.

        6. El impariter impar es el susceptible de ser dividido entre un número impar; como 25 v 49, que, siendo números impares, admiten la divisón entre partes impares: así, 7 veces 7, da 49; y 5 veces 5, 25. Los números impares pueden ser simples, compuestos o intermedios.

        7. Son simples los que no admiten más división que la unidad; como 3, divisible sólo por 3; 5, divisible únicamente por 5; y 7, sólo divisible por 7. Es la única fragmentación que permiten. Son compuestos los que, además de poder ser divididos por la unidad, pueden serlo por otro número; como 9, 15 y 21: respectivamente, 3 veces 3; 3 veces 5; y 3 veces 7.

        8. Son intermedios los que, desde un punto de vista, son simples y primos, y, en cambio, desde otro, resultan compuestos; por ejemplo, el 9, en comparación con el 25, es un número primo y simple, porque lo único que ambos tienen en común es que son divisibles por la unidad; en cambio, si comparamos el 9 con el 15, resulta ser una cifra segunda y compuesta, dado que es divisible por 3: en efecto, 3 veces 3, son 9, y 3 veces 5, son 15.

        9. Por su parte, los números pares pueden subdividirse en redundantes, insuficientes y perfectos. Son redundantes aquellos cuyas partes, sumadas, superan la cifra propuesta; por ejemplo, el 12, que presenta 5 partes: la doceava, que es 1; la sexta, que es 2; la cuarta, que es 3; la tercera, que es 4; y la mitad, que es 6: sumando 1 + 2 + 3 + 4 + 6 dan un total de 16 que supera, con mucho el 12 que se había propuesto. Lo mismo sucede con otros muchos números, como el 18, etc.

        10. Son insuficientes los que, sumadas sus partes, dan un resultado menor que la cifra inicial; por ejemplo, el 10, que presenta las tres partes siguientes: la décima, que es el 1; la quinta, que es el 2; y la mitad, que es el 5: sumando 1 + 2 + 5 obtenemos 8, mucho menor que el 10. Lo mismo ocurre con el 8 y otros muchos, cuya reducción a partes da un resultado menor. Es perfecto el número que se reproduce como resultado de la suma de sus partes; por ejemplo, el 6, cuyas tres partes son: la sexta, que es el 1; la tercera, que es el 2; y la mitad que es el 3; sumando 1 + 2 + 3 se obtiene el 6, inicialmente propuesto. Son números perfectos el 6, dentro de la primera decena; el 28, en la primera centena; y 496, en el primer millar.

6. De la segunda división del número en general

        1. Todo número se considera o en sí mismo o en relación con otro. En el primer caso, los números se dividen en iguales y desiguales. En el segundo, la división es en mayores y menores. A su vez, los mayores se subdividen en múltiplos, superparticulares, superpartientes, múltiplos superparticulares y múltiplos superpartientes. En cuanto a los menores, por su parte, se subdividen en submúltiplos, subsuperparticulares, subsuperpartientes, submúltiplos superparticulares, submúltiplos superpartientes.

        2. Número considerado en sí mismo es el que se examina al margen de cualquier relación con otro, como 2, 3, 4, 5, 6, etc. Es un número considerado en relación a otro el que se examina tomando otros como punto de referencia; v.gr., el 4 en relación con el 2 se denomina doble y múltiplo; lo mismo cabe decir del 6 respecto al 3, del 8 frente al 4 y del 10 con referencia al 5; de modo semejante el 3 con relación al 1 es triple, como el 6 frente al 2, el 9 ante el 3, etc.

        3. Llámanse números iguales los que, comparados consigo mismos, presentan igual cantidad; v.gr., el 2 frente al 2; el 3 ante el 3; el 10 respecto al 10; o el 100 en relación al 100. Son desiguales los que, comparados con otros, presentan una desigualdad; v.gr., el 3 frente al 2; el 4 respecto al 3; el 5 confrontado con el 4, o el 10 en proporción con el 6. Cuando en una comparación de este tipo resulta que un número es mayor o menor que el otro, se dice que es desigual.

        4. Es mayor el número que contiene en sí al número menor con el que se compara y algo más. Por ejemplo, el número 5 es mayor que el 3, porque el 5 contiene en sí al 3 y otras dos partes más. Y así en los demás casos similares.

        5. [Es menor el número contenido por otro mayor al que se compara, formando una parte del mismo; como el 3 con respecto a1 5, que lo engloba y además presenta 2 partes más]. Múltiplo es el número que contiene 2, 3, 4 o muchas más veces en sí a otro número menor. Por ejemplo, el 2 respecto al 1 es doble; el 3 con relación al 1 es triple; el 4 es cuádruple, etc.

        6. Por el contrario, es submúltiplo el número que está contenido 2, 3, 4, o más veces en un múltiplo. Por ejemplo, 1 está 2 veces contenido en el 2; 3 veces en el 3; 4 veces en el 4; 5 veces en el 5; y así sucesivamente.

        7. Se llama superparticular al número que contiene en sí un número inferior al que se compara y además presenta una parte más; v.gr., el 3 respecto al 2 contiene en sí al 2 y además una parte más, que es la mitad de 2; el 4, con relación al 3, engloba en sí al 3 y además una parte más, que es un tercio del 3. Del mismo modo, el 5, frente al 4, incluye en sí al 4 y una unidad más, que es la cuarta parte del 4. Y así sucesivamente.

        8. Número superpartiente es el que contiene en sí a todo el número inferior y además otras 2, 3, 4, 5 o más partes de éste. V.gr., el 5 con relación al 3 engloba al propio 3 y además otras 2 partes de él; el 7 frente al 4 incluye en sí al 4, y otras 3 partes suyas; el 9 respecto al 5, comporta en sí al 5 y 4 partes más.

        9. Subsuperpartiente es el número que está contenido en el número superpartiente y además 2, 3 o más de sus partes también lo están; por ejemplo, 3 está contenido en 5 y además otras 2 partes suyas; 5 está englobado por el 9 junto con 4 partes más.

        10. Es subsuperparticular el número menor que está contenido en otro mayor y además una parte suya, sea la mitad, la tercera, la cuarta o la quinta parte. Por ejemplo, el 2 con relación al 3; el 3 respecto al 4; el 4 frente al 5, etc.

        11. Múltiplo superparticular es el número que, comparado con otro inferior, lo engloba en sí repetidas veces junto con alguna otra parte suya. V.gr., el 5 frente al 2 contiene a éste 2 veces y una parte más; el 9 en relación con el 4, contiene dos veces ese 4 –que son 8– y además una parte del mismo.

        12. [Un número es submúltiplo [sub] superparticular cuando al compararlo con un número mayor se encuentra contenido varias veces en él y además alguna parte suya también lo está. Por ejemplo, el 2 con relación al 5 está en éste 2 veces contenido junto con una parte más]. Es múltiplo superpartiente el número que, comparado con otro inferior, lo engloba varias veces al par que algunas más de sus partes. Es el caso de 8 con respecto al 3, que contiene 2 veces ese 3 y otras 2 partes más del mismo; o el 14 frente al 6, que lo contiene 2 veces además de 2 partes más; [o el 16 en relación con el 7, que está contenido dos veces en aquél y 2 partes más; el 21 engloba en sí 2 veces al 9 y 3 partes más].

        13. Número submúltiplo superparticular es el que, puesto en relación con un número mayor, está contenido por él varias veces junto con algunas más de sus partes. V.gr. el 3 respecto al 8 está englobado por éste 2 veces y dos partes más; el 4 está 2 veces incorporado al 11 junto con 3 partes más.

7. Sobre la tercera división del número en general

        1. Los números son discretos o continuos. Este último se subdivide en lineal, superficial y sólido. Número discreto es el que está integrado por unidades claramente individualizadas; v.gr., 3, 4, 5, 6, etc.

        2. Número continuo es el integrado por unidades conexas; por ejemplo, el 3 es continuo cuando se emplea para hacer referencia a una extensión, es decir, cuando se aplica a una línea, a un espacio o a un cuerpo sólido. Lo mismo puede decirse del 4 o del 5.

        3. Es lineal el número que, partiendo de la unidad y siguiendo una proyección lineal, llega hasta el infinito. Para representar las líneas se utiliza un alfa debido a que entre los griegos esta letra indica el número 1.

        4. Es superficial el número que está contenido no sólo por la longitud sino también por la latitud, como los números triangulares, cuadrados, pentagonales o circulares, así como los que están contenidos en el plano es decir, en la superficie. El número triangular es así (sigue la figura). El número cuadrado es así (sigue la figura). El número pentagonal es así (sigue la figura).

        5. Es circular el número que multiplicado por sí mismo comienza en sí y hacia sí revierte. V.gr., 5 veces 5, es 25 así (sigue la figura). Es sólido el número que está contenido por la longitud, la latitud y la altura, como ocurre con las pirámides, que se elevan a manera de una llama, así (sigue la figura).

        6. El cubo, como los dados, es así (sigue la figura). Las esferas son aquellas figuras que presentan una redondez igual en todo su cuerpo, así (sigue la figura). Número esférico es el que, multiplicado por un número circular, se inicia en sí mismo y a sí mismo revierte. 5 veces 5, son 25; este círculo al ser multiplicado de nuevo consigo mismo, da lugar a la esfera, ya que 5 veces 25 dan 125.

8. De la diferencia entre aritmética, geometría y música

        1. La diferencia entre la aritmética, la geometría y la música consiste en encontrar la media. El modo de encontrar la media aritmética es el siguiente: suma los extremos, divide por 2 el resultado y obtendrás la mitad. Por ejemplo, suponte que un extremo es 6 y el otro 12; las sumas y el resultado obtenido es 18; lo divides por la mitad y te resulta 9, lo cual está de acuerdo con la aritmética, ya que la media supera al primero de los extremos en las mismas unidades que el segundo extremo supera a la media. En efecto, la media 9 supera al 6 en 3 unidades, que son las mismas en que el 12 supera a la media, 9.

        2. La media geométrica puedes hallarla de la siguiente manera: el resultado de multiplicar los extremos es el mismo que el que se obtiene de la multiplicación de los medios. Por ejemplo, multiplicados 6 por 12 dan un total de 72, que es el mismo producto resultante de multiplicar los medios 8 y 9.

        3. La media musical es la siguiente: la media supera al primer extremo en la misma cantidad que supera al segundo. Por ejemplo, 6 y 8: el 8 supera al 6 en dos partes; estas dos partes son a su vez superadas por la media en un tercio, esto es 8, que, a su vez, es superado por la ultima nona.

9. Existen los números infinitos

        1. Es algo absolutamente innegable que los números son infinitos; en efecto, cualquier número que pudieras imaginar como el último, no digo ya que puede aumentársele una unidad más, sino que, por muy grande que sea, por muy desorbitada que sea su cifra, el sentido común y la ciencia de los números nos indican que puede no sólo duplicarse, sino también multiplicarse.

        2. Cada número está determinado de tal forma por sus propiedades, que ninguno de ellos puede ser igual a cualquier otro. En consecuencia, los números son diferentes v distintos entre sí; cada uno, en este sentido, es finito; y, sin embargo, considerados en su conjunto, los números son infinitos.

10. Sobre los inventores del nombre de la geometría

        1. Se cuenta que la ciencia geométrica fue iniciada por los egipcios, ya que, al desbordarse el Nilo y borrarse con el limo los lindes de los campos, se comenzó –y esto dio nombre a esta disciplina– a delimitar mediante líneas y medidas las tierras que debían dividirse. Más tarde esta ciencia llegó a una altura tal, que comenzaron también a medirse los espacios marinos, !os del cielo y el firmamento.

        2. Pues, arrastrados los hombres por su afán de estudio emprendieron la investigación de los ámbitos del cielo, una vez conocidas las dimensiones de la tierra. Y empezaron así a establecer cuál era la distancia entre la luna y la tierra, o entre la luna y el sol, cuánto era el espacio existente hasta el vértice del cielo; del mismo modo determinaron el número de estadios, más o menos, que tienen las distancias del cielo y el ámbito del orbe.

        3. Pero como esta ciencia tuvo su inicio en la medición de !a tierra, conservó por ello el nombre de lo que fue su origen. De ahí su denominación de "geometría", derivada de "tierra" y de "medida". En efecto, en griego, "tierra" se dice gê, y "medida", metra. El contenido de esta ciencia son las líneas, las distancias, la extensión y las figuras; en las figuras considera las dimensiones y los números.

11. Sobre la división de la geometría en cuatro partes

        1. Las cuatro partes en que se divide la geometría son: el plano la extensión numerable, la extensión racional y las figuras sólidas.

        2. Las figuras planas son las que están delimitadas por la longitud y la latitud. Según Platón, su número es de cinco. La extensión numerable es la que es susceptible de ser dividida por los números de la aritmética.

        3. Son extensiones racionales aquellas cuyas medidas podemos conocer; irracionales, en cambio, aquellas de las que se ignora qué medidas poseen.

12. Sobre las figuras geométricas

        1. Las figuras sólidas son las que están delimitadas por la longitud, la latitud y la altura, como el cubo. Las figuras planas presentan cinco clases diferentes.

        La primera es el círculo, que es una figura plana limitada por su circunferencia. Su centro es un punto del que equidistan todos los demás, y que los geómetras llaman "centro", y los latinos, por su parte, "punto del círculo".

        2. El cuadrilátero es una figura plana cuadrada, formada por cuatro líneas rectas, así. El dianatheton grammon es una figura plana, como se ve en la figura. El octógono es una figura plana con un ángulo recto: es decir, el triángulo que presenta un ángulo recto. El isopleuros es una figura plana recta y determinada por debajo....

        3. La esfera es una figura de forma redonda igual en todas sus partes. El cubo es la figura sólida por antonomasia, que está delimitada por la longitud, la latitud y la altura.

        4. Cilindro es una figura cuadrada que presenta en la parte superior un semicírculo.

        5. El cono es una figura que, a partir de una base ancha, sube estrechándose hasta acabar en punta. Como el octógono.

        6. La pirámide es una figura que, al igual que el fuego, se levanta desde una base ancha hasta terminar en punta de lanza; entre los griegos al fuego se le llama pyr.

        7. Del mismo modo que todos los números están por debajo del 10, así también el contorno de todas las figuras está incluido en el círculo. La figura primera de la ciencia geométrica es el punto, que es lo indivisible. La segunda es la línea, que, privada de latitud, es longitud nada más. Línea recta es la que presenta la misma dirección en todos sus puntos. Superficie, en fin, es lo que posee únicamente longitud y latitud. Los límites de la superficie son líneas, pero su imagen no aparece en las diez figuras (geométricas) más arriba mencionadas, porque se encuentra en el interior de ellas.

13. Sobre los números de la geometría

        Según la geometría, los números se buscan de la forma siguiente: la multiplicación de sus extremos da el mismo resultado que la multiplicación de sus medios. Por ejemplo, multiplicados (los extremos) 6 y 12 se obtiene 72; al multiplicar los medios 8 y 9 el producto resultante es el mismo.

14. Exposición de las figuras descritas más arriba

        1. Desde otro punto de vista pueden igualmente determinarse en el movimiento de las estrellas ocho figuras, según sean diametrales, cuadradas, triangulares, exagonales, inconnexas, conjuntas, circunferentes –es decir, que salen a la superficie–, o según sean sacadas a la superficie. Son diametrales cuando intervienen cinco signos. Tetragonales, cuando intervienen dos. Hexagonales, cuando interviene uno. Inconnexas, cuando no interviene ninguno. Conjuntas, cuando se encuentran en !a misma sección. Circunferentes, cuando sobrepasan el plano y presentan una medida de superficie. Son sacadas a la superficie cuando sobresalen. Triangulares, cuando presentan tres medias.

        2. Desde otro punto de vista presentan ocho diferencias, a saber: signo, partes, límites; en proyección conjunta, regresiva o recta; latitud y longitud.

        3. Explicación de su forma interna. Semejante cuestión puede nacer de este planteamiento. Dado que, en el orden numérico, 8 es anterior, se lo ha colocado delante de 9, porque en el planteamiento aritmético y geométrico 8 es más que 9. En efecto, 8 es el cubo o (figura) sólida, es decir, el cuerpo, más completo que el cual, no puede encontrarse ningún otro. El 9, en cambio, es la superficie, es decir, aquello que no es completo, sino que precisa de algo para su perfección.

        4. Los dos cubos, esto es, los dos conjuntos unitarios, se hallan de la siguiente forma: el 6 es el primer número perfecto; se divide en números semejantes así: en sextas partes mediante la unidad; en terceras partes, mediante la dualidad; 3 veces 2 unidades, 6; en unidades –es decir, 2 veces 3 unidades, 6. Encontrarás otro medio de dividir mediante números pares que resulte conveniente al planteamiento.

        5. Siguiendo un orden, entre el primer número es decir, el 10, que por ser el primero es un número perfecto, multiplicando el primer número que le sigue al contar a la inversa, vemos que 6 veces 9, dan 54; y que 9 veces 6, dan también 54. La teoría enseña a conocer la obtención de equis partes de forma ajustada a partir de dos elementos, uno de los cuales aparece en el siguiente cuadro: 1, 2, 3, 4, 9, 8 y otros, hasta el 27, inclusive.